Capítulo Vinte e Três: O Clássico Problema de Modelagem dos Mercadores e Seus Acompanhantes

Ao observar os dois alunos na sala, o professor Liu Xiangping ficou momentaneamente surpreso e perguntou, sorrindo: “Só dois? Ouvi dizer que havia mais um.”

“…Vou ligar para ela e perguntar.” Wang Xiaodong, visivelmente constrangido, saiu para fazer a ligação.

O professor não demonstrou pressa; abriu sua garrafa térmica, sorveu um pouco de água quente e caminhou tranquilamente até onde Lu Zhou estava, perguntando com um sorriso: “Como está a configuração da equipe de vocês?”

Lu Zhou colocou o celular de lado e respondeu, sorrindo: “Eu fico responsável pela modelagem, Wang Xiaodong pela programação, e Lin Yuxiang pela redação do artigo e apresentação.”

“Modelagem, programação, redação, uma configuração padrão,” comentou o professor Liu, sorrindo. “Aliás, você é aquele Lu Zhou, da turma de 2013, não é? Li seu artigo, realmente é um excelente trabalho.”

Os olhos de Lu Zhou brilharam: “O senhor também trabalha com matemática?”

“Digamos que sim, mas meu foco é mais voltado para física. Não publico muitos artigos de matemática,” respondeu Liu, apertando os olhos e lançando um olhar para a porta da sala, antes de continuar sorrindo: “Essa colega de vocês parece não ser muito confiável.”

Lu Zhou sorriu, constrangido mas educado.

O professor também sorriu, sem se aprofundar no assunto. Após uma breve pausa, prosseguiu: “Sobre a configuração da equipe, sugiro que ajustem um pouco. Deixar modelagem e redação sob responsabilidade de uma mesma pessoa, enquanto os outros dois cuidam da programação. Dessa forma, quem modela tem uma visão global do problema, o que torna a redação mais fluida. Mas, claro, há um lado negativo: a carga fica pesada para essa pessoa. Vocês têm apenas três dias de competição, então quem modelar precisará iniciar a redação imediatamente após concluir seu trabalho.”

Lu Zhou refletiu: “… Dois cuidando da programação?”

Liu sorveu mais um pouco de chá e respondeu calmamente: “Exatamente.”

Lu Zhou sorriu, sem dar uma resposta imediata: “Vou pensar sobre isso, é algo que preciso conversar com meus colegas.”

Nesse momento, o som de passos apressados ecoou no corredor, e a última integrante do grupo finalmente chegou.

“Desculpe, acordei um pouco tarde, realmente sinto muito!” Lin Yuxiang entrou na sala junto com Wang Xiaodong, curvando-se diante do professor em sinal de desculpa.

“Não tem problema. Agora que todos estão aqui, vamos começar logo,” disse o professor Liu Xiangping, descontraído, sem repreendê-la pelo atraso. Virou-se para o computador, conectou o pendrive, ligou o projetor e abriu seu PPT.

“Antes de começarmos a aula, quero que vocês vejam um exemplo. O exercício em si não é difícil, mas serve como um caso de modelagem matemática. Espero, através desse exemplo, mostrar o que é modelagem matemática.”

Ao dizer isso, clicou o mouse e passou para o próximo slide.

“Três comerciantes, cada um acompanhado de um assistente, precisam atravessar um rio usando um pequeno barco que só comporta duas pessoas. Os assistentes fizeram um acordo secreto: em qualquer margem, se o número de assistentes ultrapassar o de comerciantes, eles roubam e matam. Mas o direito de decidir quem atravessa o rio está nas mãos dos comerciantes. Pergunta: como eles podem cruzar o rio em segurança?”

De fato, o problema era simples.

Mesmo sem depender do auxílio do sistema, Lu Zhou rapidamente encontrou a solução e respondeu:

“Primeira rodada: dois assistentes atravessam, um assistente retorna.”

“Segunda rodada: mais dois assistentes atravessam, um assistente retorna.”

“Terceira rodada: dois comerciantes atravessam, um assistente e um comerciante retornam.”

“Quarta rodada: dois comerciantes atravessam, um assistente retorna.”

“Quinta rodada: dois assistentes atravessam, um assistente retorna.”

“Sexta rodada: os dois últimos assistentes atravessam, cruzando o rio com sucesso!”

“Bravo, bravo!” Lin Yuxiang aplaudiu discretamente, com um olhar de admiração.

A expressão de Wang Xiaodong permaneceu impassível, com ar de quem vive alheio ao mundo.

Para ele, o problema realmente não tinha dificuldade; embora não tivesse feito o cálculo, confiava em sua inteligência e sabia que, com um pouco de tempo, também encontraria a solução.

“Está absolutamente correto.” O professor Liu sorriu e prosseguiu: “Mesmo sem recorrer a conhecimentos matemáticos, apenas com lógica é possível resolver. Mas e se expandirmos o problema para N comerciantes?”

Esse desafio era de fato mais complexo, mas a dificuldade estava menos na matemática e mais em como abstrair o problema para uma formulação matemática.

Lu Zhou pensou por alguns instantes e já tinha uma ideia geral.

“Posso usar o quadro?”

“Claro,” respondeu o professor Liu Xiangping, fazendo um gesto convidativo.

Lu Zhou se aproximou, pegou o giz e começou a escrever no quadro.

【① Antes da k-ésima travessia, denote o número de comerciantes na margem como Xk e o de assistentes como Yk, com k = 1, 2, …, Xk, Yk = 0, 1, 2, 3. Defina o vetor bidimensional Sk = (Xk, Yk) como estado. O conjunto de estados seguros sob a condição de travessia é chamado de conjunto permitido, denotado por S.

Assim, S = {(X, Y) | X = 0, Y = 0, 1, 2, 3; X = 3, Y = 0, 1, 2, 3; X = Y = 1, 2}

② Na k-ésima travessia, denote o número de comerciantes no barco como Uk e de assistentes como Vk. Defina o vetor bidimensional Dk = (Uk, Vk) como decisão. O conjunto de decisões permitidas é D, e pela capacidade do barco: D = {(U, V) | 1 ≤ U + V ≤ 2, U, V = 0, 1, 2}

③ Combinando as conclusões acima, o estado Sk varia conforme Dk segundo: S(k+1) = Sk + (–1)^k * Dk 】

“Impressionante…” Lin Yuxiang, com um olhar confuso, observava o quadro, a boca entreaberta. Olhou para Lu Zhou, que descia do púlpito, e perguntou, surpresa e em voz baixa, “Você não precisa de rascunho?”

“Já fiz o rascunho mentalmente,” respondeu Lu Zhou, sorrindo.

Wang Xiaodong manteve o silêncio habitual.

Mas, pelo seu olhar, era evidente que o orgulhoso estudante prodígio reconhecia plenamente a habilidade matemática de Lu Zhou.

O professor Liu Xiangping olhou para o quadro e assentiu sorrindo: “Perfeito! Do ponto de vista da modelagem matemática, o trabalho está apenas pela metade. Após a modelagem, precisamos de um programa para implementar o modelo. Claro, esse modelo é simples; acredito que Wang pode facilmente programar isso, então não vamos perder tempo com isso aqui.”

Wang Xiaodong ajustou os óculos, mantendo a expressão indiferente, como se fosse óbvio. Embora lamentasse não poder demonstrar suas habilidades de programação ali, era apenas um pequeno desapontamento.

Após uma breve pausa, o professor Liu prosseguiu: “A modelagem de dados consiste em transformar um problema real em algo que possa ser representado por dados e uma linguagem sucinta, e então resolvê-lo com ferramentas matemáticas.”

“Portanto, o essencial é: qual problema real sua equipe irá enfrentar?”

“A modelagem não avalia a capacidade de programar nem de fazer matemática, mas sim a habilidade de converter problemas reais em linguagem de dados e métodos de solução. Isso é o que vocês devem lembrar.”

“Sobre a modelagem em si, não tenho muitos conselhos; além de praticar e ampliar o conhecimento, não há atalhos. Mas sobre programação, posso comentar.”

“Os softwares mais usados são quatro: Matlab, Mathematica, Lingo e SAS. Não precisam dominar todos, basta saber usar ao menos um, o importante é escolher o software mais adequado para resolver o problema.”

Ao dizer isso, o professor Liu Xiangping olhou para Wang Xiaodong.

Essa observação era especialmente dirigida a ele.

Wang Xiaodong ajustou os óculos e assentiu: “Já usei Matlab e SAS, não é problema.”

O professor Liu assentiu: “Dominando esses dois, já é o suficiente. Vocês precisarão estudar sozinhos; minha função é orientar quando houver dúvidas.”

“Por fim, quanto a livros de referência, recomendo que vejam alguns casos de modelagem matemática, como ‘Modelos Matemáticos’, ‘Algoritmos e Aplicações em Modelagem Matemática’ e ‘Introdução à Modelagem Matemática’.”

“Tenho também alguns materiais e apostilas internas da universidade; vocês podem copiar para consultar, mas lembrem-se: não podem compartilhar nem subir para a internet. Entendido?”

“Entendido!” responderam os três em uníssono.

O professor Liu sorriu e disse: “Muito bem, por hoje é só. Não tenho mais o que dizer, tudo depende de vocês. Quem quiser os materiais, venha baixar comigo; depois disso, voltem logo para revisar inglês.”